La Teoría de las Catástrofes: un acierto literario.

La belleza es una forma de verdad. Por eso no importa que algunas teorías científicas se revelen, a la larga, falsas o improductivas: su belleza sobrevive a su utilidad. La Teoría de las Catástrofes, desarrollada por el matemático francés René Thom en los años sesenta, es una de ellas. En su momento suscitó grandes esperanzas por las múltiples aplicaciones que parecía ofrecer, no solo en el campo de las ciencias exactas, sino también en las sociales y hasta en filosofía. Hoy sigue teniendo aplicaciones en áreas como óptica y física, pero no ha supuesto la revolución conceptual que los más entusiastas auguraron. Pero ello no resta un ápice a la belleza de su planteamiento y a su poder de evocación. He titulado a este artículo “Un acierto literario” porque creo que la teoría de Thom es, sobre todo, bonita y sugerente, como una buena novela. 

Estas notas están basadas en la lectura, cuarenta años después, de un librito divulgativo que cayó en mis manos cuando trabajaba de bibliotecario en Alcalá de Henares. Su título es, precisamente, Teoría de las catástrofes, y sus autores, Alexander Woodcock y Monte Davis. Lo tradujo y editó Cátedra en 1986. Entonces lo hojeé con cierto interés, mientras sellaba sus páginas y le asignaba su clasificación en las estanterías. Me llamó la atención (como a tantos otros) el título, en el que conviven una palabra tan aséptica como “teoría” y otra tan escandalosa como “catástrofe”. Es una combinación poética, como podrían serlo Matemática del caos, Trigonometría de la tristeza, o la propia Oceanografía del tedio, de Eugenio D’Ors. Eran los años ochenta y la propuesta de René Thom estaba en su auge de provocación de titulares y debates, no sólo en revistas científicas, sino en también en otras más mundanas, como Time y Newsweek. 

Hace muchos años que dejé mi trabajo de bibliotecario, y la ciudad donde lo ejercí. Pero anteayer, en una de mis muchas lecturas casuales, me volví a encontrar con la Teoría de las Catástrofes, y quise recuperar el libro hojeado cuatro décadas atrás. No otro, no: el mismo libro: sentí el impulso de conseguir un ejemplar de aquella edición de Cátedra, pues los libros tienen también su coquetería, y por mucho que lo esencial sean las historias que cuentan, su aspecto físico, su cualidad material, son también  importantes. Gracias a Wallapop, lo encontré. 

Una “catástrofe”, en la terminología de Thom, se define como “la transición de un sistema estable a otro igualmente estable, pasando por una serie de estados intermedios ninguno de los cuales es estable”. Se entiende muy bien con ejemplos. Pensad en una lámina de metal tensa y abombada, a la que podemos presionar para que el abombamiento cambie de lado, de manera brusca y sonora. Con la adecuada presión conseguimos el cambio, pero lo que nunca ocurrirá es que la chapa se quede en un estado intermedio. O pensad en una botella en el borde de una mesa, a la que empujamos. No podemos predecir en cuántos pedazos se romperá, pero sí que en el momento en el que su centro de gravedad queda fuera del perímetro de su base, caerá. El primer ejemplo es el de una catástrofe reversible, pero la segunda no tiene remedio, y hay que vaciar otra botella si queremos repetir el experimento. 

No debe entenderse la “catástrofe” de Thom como un “desastre”, a pesar de que esta ambigüedad semántica está, parcialmente, en el origen de su popularidad. La ebullición del agua, o su congelación (reversible); la combustión de la madera o de cualquier sustancia, destruyéndose de manera irremediable, son también “catástrofes”. En sentido amplio, podríamos decir que son cambios cualitativos, o saltos cuánticos, en su acepción popular. 

También son “catástrofes” muchísimos eventos de naturaleza biológica, como el nacimiento y la muerte, o el sueño y el despertar. No hay estado intermedio entre la estabilidad de la no existencia y la aventura de la vida, o al menos no lo conocemos. En el instante en el que un espermatozoide consigue fecundar un óvulo se produce un cambio cualitativo, de naturaleza estable, que mantendrá animada a la materia orgánica hasta que otra catástrofe, la mortal, ordene su reducción a cenizas. Esto del nacimiento como “catástrofe” gustaría mucho a Cioran, sin duda. 

La teoría de René Thom tuvo tantas resonancias y resulta tan sugerente porque trata de encontrar fórmulas matemáticas comunes a cambios de estado físicos, químicos y vitales. Los más entusiastas quisieron también aplicarla de manera predictiva a ciencias sociales, como la economía, la política o la sociología, para explicar por qué una revolución estalla en un momento determinado, o el crash bursátil se produce tal día a tal hora. Luego veremos ejemplos de esto.

Fue precisamente un biólogo, el escocés Waddington, uno de los más importantes dinamizadores de las ciencias de la vida en el siglo XX, quien inspiró a Thom. A su vez, Waddington estaba muy influido por otro biólogo y matemático, D’Arcy Thomson, que en 1917 había publicado Sobre el crecimiento y la forma, obra que revolucionó la biología al introducir el análisis matemático en el estudio de la morfología de los seres vivos. Remontando el curso de este río hallamos también a Ernst Haeckel, que con su Obras de arte de la naturaleza, publicado en 1899, llamó poderosamente la atención sobre la belleza geométrica del diseño de numerosas especies: radiolarios, arácnidos, ctenóforos, escifozoos, cefalópodos… Descubrir, por ejemplo, que la espiral logarítmica es una ecuación que rige por igual el desarrollo del molusco Nautilus, la disposición de las pipas en el girasol o la expansión de la cabellera humana a partir de la coronilla parece indicar que hay, ciertamente, un gobierno matemático sobre las formas vitales. Lo que hizo Thom, a sugerencia de Waddington, es buscar las leyes de ese gobierno no sólo en las formas estables, sino en los procesos de cambio cualitativo, en las “catástrofes”. 

La matemática pura es el territorio de la eternidad. Un triángulo seguirá siendo triángulo por los siglos de los siglos, inmóvil e inmutable. Las ciencias físicas y químicas sí que tienen una dimensión temporal, patente en la gravedad, la ebullición, la fusión, la explosión… En lo biológico el tiempo es esencial. Un ser vivo es un fenómeno de duración definida, comprendida entre la catástrofe inicial y la final. La vida consiste, precisamente, en ese milagro de plazo limitado. Al menos la del individuo, pues las especies podrían reclamar quizás una cierta parcela de eternidad. También en la evolución se producen “catástrofes”: lo es la transformación de una especie (definida como aquella en la que el cruce de sus individuos es fértil) en otra diferente (cuando el cruce de individuos es estéril).         

Waddington conocía bien la importancia del tiempo en el estudio de la biología, y definió cuatro escalas temporales, cada una de ellas con su propia disciplina. En primer lugar la sincrónica, que estudia el comportamiento de un espécimen en un momento determinado. Después la diacrónica, que estudia la vida de un individuo desde su nacimiento a su muerte; la genética, que se ocupa de la forma en la que se traslada información de una generación a otra; y por último la evolutiva, que estudia el conjunto general del hecho biológico. Como podéis ver, parece más sencillo estudiar triángulos que gusanos. 

La especialidad matemática de René Thom era la topología, rama que estudia las propiedades de las figuras geométricas o espacios que permanecen inalterados (invariantes) bajo deformaciones continuas, como estirarlos, doblarlos o retorcerse, sin romper ni pegar sus partes. La topología maneja conceptos cualitativos como la conectividad y la compacidad, más que medidas precisas como distancias o ángulos. Es una matemática morfológica, y así se entiende mejor la conexión entre la fascinación por las formas naturales de los biólogos Haeckel, D’Arcy y Waddington y la teoría matemática de Thom.

Para entender la Teoría de las Catástrofes es esencial el concepto de “factor de control”, que es la variable exterior que provoca, a partir de cierto grado, el cambio cualitativo. Volviendo a los ejemplos, serían “factores de control” la presión de la mano sobre la chapa abombada, o sobre la botella en pie sobre la mesa, o la temperatura del agua capaz de provocar la ebullición. En muchos casos hay más de un factor de control simultáneo. En una ola que rompe podemos considerar dos: la profundidad del agua y el grado de pendiente hasta la orilla. O tres, si añadimos la intensidad del viento. O cuatro, si añadimos su dirección. O cinco, si contamos también con su frecuencia de racheado. En la elección y número de factores de control reside la clave de esta bella teoría. 

También es necesario comprender el concepto de “eje de conducta”, que es el resultado de la catástrofe. En el caso del agua, por ejemplo, hay tres conductas posibles, correspondientes a sus diferentes estados: sólido, líquido o gaseoso. En el de la botella, sólo hay una: la caída.

Thom demostró (y su planteamiento está generalmente admitido por la comunidad matemática mundial) que sólo existen siete formas topológicas posibles para catástrofes de hasta cuatro factores de control; las denomina “catástrofes elementales”. Aparecen ilustradas en el capítulo 3 del libro de Woodcock y Davis, y tampoco es difícil localizarlas mediante búsqueda en la web. Con 1 factor y 1 eje de conducta, la forma es la de “pliegue”; con 2 factores y 1 eje de conducta, la de “cúspide”; con 3 factores y 1 eje, de “cola de milano”; con 3 factores y 2 conductas hay dos formas posibles, la “umbílica hiperbólica” y la “umbílica elíptica”; con 4 factores de control y 1 eje de conducta obtenemos la forma de “mariposa”, mientras que con 4 factores y 2 ejes obtenemos la “umbílica parabólica”. Thom no quiso ir más allá de estas combinaciones, dada su complejidad dimensional progresiva. 

Estas formas serían, por tanto, las manifestaciones espaciales del cambio catastrófico, sus “ilustraciones”. En el caso de la más sencilla, es una simple curva bidimensional, una elipse cuyo vértice se corresponde con la catástrofe. En el caso del “pliegue” es una forma parecida a un papel que se dobla por su centro, expandiéndose de manera curva hacia los lados. Cada “factor de control” representa a una dimensión espacial. Las catástrofes de tres factores pueden reproducirse en objetos sólidos tridimensionales. De hecho, bastantes artistas fascinados por la teoría se han puesto a ello: Pablo Palazuelo, Bernard Venet, Jean-Pierre Luminet… Quizás el más famoso sea Salvador Dalí, que en sus últimos años se mostró realmente interesado por la matemática de las catástrofes; su última pintura, terminada en 1983, lleva por título “Cola de golondrina”, e ilustra dos de las catástrofes elementales de Thom, la de “pliegue” y la de “cola de milano”. Es la imagen de cabecera de este artículo.

A partir de cuatro factores de control las formas topológicas se complican bastante, pues adquieren dimensiones solo expresables en matemáticas, pero desconocidas en la vida cotidiana (salvo estados alterados de conciencia). Recordemos que, por mucho que nos empeñemos, el espacio es tridimensional, y las cuartas o sucesivas dimensiones solo existen en la teoría matemática y en la ciencia ficción.

¿Y por qué hay únicamente siete formas catastróficas posibles? Por la misma razón, dice Thom, que solo hay cinco poliedros regulares en un espacio tridimensional: porque sí. 

Thom sostiene en su libro clave –Estabilidad estructural y morfogénesis, publicado en 1972, cuando su teoría ya llevaba años discutiéndose y asombrando en círculos académicos y medios especializados- que las formas de sus catástrofes elementales se manifiestan en procesos biológicos como la evolución de los embriones y la formación de órganos. Observemos que el título del libro contiene la palabra “morfogénesis”, que significa precisamente “origen de las formas”. Así situamos mejor la teoría de Thom en la línea genealógica de los trabajos biológicos de Waddington y resto. Es razonable pensar que cuanto más cerca esté la vida de su dimensión química elemental más poderosa sea la influencia de la matemática sobre ella, y menos los factores de control que gobiernen sus cambios. 

A partir de aquí se desató un entusiasmo que llevó a muchos investigadores de diferentes áreas a intentar extender la teoría a campos muy diversos, utilizando las formas y dibujos topológicos como cartas de navegación para entender y predecir momentos de cambio. La mitad del libro de Woodcock y Davis está dedicada a ilustrar estas “aplicaciones extendidas”. El matemático británico Erik Christopher Zeeman, miembro de la Royal Society, fue uno de los más prolíficos. Y no se limitó a las ciencias exactas. Fascinado por la etología -ciencia del comportamiento animal, que en los años setenta vivía un momento cumbre, gracias a los trabajos de Konrad Lorenz, Niko Tinbergen y Karl Von Frisch- Zeeman quiso explicar la decisión de un perro que puede atacar o huir como una catástrofe con dos factores de control: el miedo y la furia. Sostuvo que hay un momento perceptible en el que el animal se lanza al ataque, o bien desiste y huye metiendo el rabo entre las patas, y que ese momento es una “catástrofe” en el sentido de Thom, y de alguna manera se corresponde con una forma topológica. No queda claro cómo esta forma se concreta en la red neuronal, pero la propuesta de Zeeman es interesante por enfocar la teoría hacia el instinto y la mente. ¿No parece también una “catástrofe” el momento de la comprensión de un chiste, o el de hallar la solución a un problema complejo? La alegría que llevó a Arquímedes a correr desnudo por las calles de Siracusa gritando “¡Eureka!”, y que todos hemos sentido en menor grado al comprender la razón de una situación o un comportamiento, ¿no es acaso un salto mental cualitativo? No hay “estado intermedio” entre entender un chiste o no hacerlo, aunque “verle la gracia” sea cuestión diferente, más sujeta a ideologías y al propio sentido del humor de cada cual. 

La memoria, en el momento de recordar (¡por fin!) algo que se nos resiste, parece también comportarse de manera catastrófica, pero en este caso sí que hay “estados intermedios”: cuando queremos encontrar el nombre de aquella persona que fue tan importante pero hace mucho que no hemos vuelto a ver se produce un fenómeno de aproximación, un juego de “frío-templado-caliente” en el que vamos rozando el objetivo y definiendo sus contornos poco a poco. Sabemos que el nombre tiene tres sílabas, quizás que empieza por “A”, y que con seguridad tiene una letra “m”, y que no es un nombre muy frecuente… Y así hasta que súbitamente damos en el clavo y se libera la hormona correspondiente de satisfacción cotidiana. 

Cuentan Woodstock y Davis que hubo quien intentó aplicar la teoría de Thom al estudio de la esquizofrenia, para conocer mejor el momento de irrupción de un ataque. Siguiendo con el comportamiento animal, otros la aplicaron al estudio de las poblaciones y las plagas, y a la formación de grupos y clanes. También en estrategia militar se definió como “catástrofe” el momento de una victoria o derrota, considerando factores de control la cohesión del ejército y la presión del enemigo. En economía, se aplicó al estudio de las crisis, considerando la competencia y los precios, o la especulación y la inflación, como factores de control. Hubo incluso quien aplicó la teoría a la política penitenciaria, como herramienta para predecir motines carcelarios. Todo esto suscitó encendidos debates. Aplicar en ciencias sociales, y en áreas tan delicadas como los derechos humanos o la política, frías fórmulas matemáticas provoca un rechazo natural comprensible. 

Me pregunto si hoy los motores de inteligencia artificial utilizan la Teoría de las Catástrofes para realizar sus predicciones. La propia IA (de Google) me responde que no. Utilizan más bien modelos estadísticos capaces de procesar ingentes masas de probabilidades y datos. 

Como el lector ya habrá podido intuir, es en la elección de los “factores de control” donde la teoría de Thom puede perder, precisamente, el control, tanto más cuanto más se aleje del campo de aplicación de la matemática teórica. En ingeniería y arquitectura los factores de control son fáciles de aislar, y ello permite construir puentes y catedrales. En ciencias ópticas, físicas y químicas son también manejables, al menos en el laboratorio, pues en la vida real el mecanismo del “caos determinista” hace que un minúsculo (despreciable, dirían algunos) cambio de valor en una de las variables de un experimento desencadene complicaciones enormes. El concepto de caos determinista está en el origen del famoso “efecto mariposa”, por el que sabemos que un batir de sus alas en una jungla africana puede terminar condicionando un ciclón en el Golfo de México. Buscad vídeos de “doble péndulo” en la web para ver de manera divertida los efectos del caos determinista.

Así pues, el número y el tipo de factores que condicionan cualquier fenómeno es muy difícil de precisar. Si fuera fácil, podríamos predecir con exactitud en cuántos pedazos se romperá la botella que cae, y dónde terminará cada cual, suponiendo que aplicáramos siempre la misma presión de empuje sobre el mismo punto; o qué caprichosa forma desarrollará una ola que rompe, como en un grabado de Hokusai. En un terreno teórico, abonado por la euforia de la computación cuántica y la inteligencia artificial, esto parece al alcance en unas décadas, pero… Piense cada cual lo que le plazca, ya que es en esta tentación de predecir cualquier cambio donde están a la vez la grandeza y la miseria de la teoría de Thom. Es una tentación mágica tan intensa como la de la cábala para Isaac Newton. Al fin y al cabo, si la ciencia no parece magia no merece la pena.

Concluímos con una cita del libro de Woodcock y Davis que resume el debate, aún vigente:  

Un punto de vista pesimista sostiene que incluso la forma biológica más simple implica tantos factores diferentes que las catástrofes elementales (limitadas a cuatro factores de control) no pueden aplicarse de ningún modo. Pero una y otra vez los biólogos han encontrado que procesos muy complejos podían iniciarse o pararse con estímulos muy simples, como descubrieron Waddington y sus colegas cuando estudiaban las influencias químicas en la embriología. Todos los cambios que transforman una larva de insecto en su forma adulta dentro del capullo, por ejemplo, son desatados por la presencia de una sola hormona. Y, aunque el sistema nervioso de un animal o de un ser humano pueda transmitir una variedad infinita de mensajes, la transmisión de cada impulso nervioso depende de que se den los niveles apropiados de unas pocas sustancias (especialmente sodio y potasio) dentro y fuera de cada célula nerviosa. Rasgos clave como estos pueden servir como factores de control en modelos basados en la teoría de catástrofes, permitiendo la descripción, y quizá incluso la predicción de cambios cualitativos demasiado complejos para que se presten a otros modelos por métodos tradicionales.

Como señala Thom, podemos ver mucho más de lo que podemos decir: una película de una piedra salpicando en un estanque, o incluso una fotografía inmóvil del salpicón, presenta una forma que no puede explicarse por completo, ni siquiera con las más poderosas técnicas matemáticas de dinámica de fluidos. Tenemos una elegante teoría de la cristalización, pero realmente no sabemos lo que impone la forma de la ramificación plumosa de los cristales de escarcha en una ventana fría. La Teoría de las Catástrofes abre nuevos caminos de aproximación a fenómenos naturales. Debe mucho a la sensibilidad visual de Thom y sus predecesores en el campo de la morfogénesis. Con el tiempo, es posible que pague esa deuda dándonos herramientas mejores para explicar qué es lo que hemos estado viendo todo este tiempo.